Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}sin（\frac{π}{2}x）-1，x≤0\\{log_a}x（a＞0，a≠1），x＞0\end{array}$的圖象上關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有3對(duì)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，1）
• B． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• C． $（\frac{{\sqrt{3}}}{3}\;，\;\;1）$
• D． $（0\;，\;\;\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$

Answer 1

分析 求出y=sin（$\frac{πx}{2}$）-1（x≤0）關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)，令其圖象與f（x）在（0，+∞）上至少有3個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象得出不等式，從而解出a的范圍．

解答 解：y=sin（$\frac{πx}{2}$）-1（x≤0）關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為y=-sin（$\frac{πx}{2}$）-1（x≥0），
作出y=-sin（$\frac{πx}{2}$）-1與y=log_ax的圖象如圖所示：

∵f（x）的圖象上關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)至少有3對(duì)，
∴y=-sin（$\frac{πx}{2}$）-1與y=log_ax的圖象至少有3個(gè)交點(diǎn)，
∴-2＜log_a5＜0，解得0＜a＜$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．