如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，G為△BC1D的重心，

(1)求證：A1、G、C三點共線；

(2)求證：A1C⊥平面BC1D；

(3)求點C到平面BC1D的距離．

 

（1）見解析 （2）見解析 （3）a.

【解析】【解析】
(1)證明：＝＋＋＝＋＋，

可以證明：＝(＋＋)＝，∴∥，即A1、G、C三點共線．

(2)證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，

則|a|＝|b|＝|c|＝a，

且a·b＝b·c＝c·a＝0，

∵＝a＋b＋c，＝c－a，

∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，

∴⊥，即CA1⊥BC1，

同理可證：CA1⊥BD，

因此A1C⊥平面BC1D.

(3)∵＝a＋b＋c，

∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，

即||＝a，因此||＝a.

即C到平面BC1D的距離為a.

 

練習(xí)冊系列答案
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已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，則圓C上各點到l距離的最小值為________，最大值為________．

 

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如下圖所示，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°.

(1)求證：AC⊥平面BDE；

(2)求二面角F－BE－D的余弦值；

(3)設(shè)點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

 

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如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足MP＝MC，則點M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為(　　)

 

 

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如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D為BB1的中點，則異面直線C1D與A1C所成角的余弦值為________．

 

 

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已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，則x、y的值分別為(　　)

A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝

C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1

 

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A．4 B．3 C．2 D．1

 

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一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與側(cè)視圖均為半徑是2的圓，則這個幾何體的表面積是(　　)

A．16π B．14π C．12π D．8π

 

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