Question

14．已知${（{\frac{1}{{2\sqrt{x}}}+2x}）^n}（n∈{N^*}）$展開(kāi)式中第6項(xiàng)為常數(shù)．
（1）求n的值；
（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)通項(xiàng)公式即可求出n的值，
（2）設(shè)展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則得到關(guān)于r煩人不等式組，解得r，問(wèn)題得以解決

解答 解：（1）展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=2^-n+2r•C_n^rx${\;}^{\frac{n-3r}{2}}$，
∵展開(kāi)式中第6項(xiàng)為常數(shù)，
∴r=5，
即為$\frac{n-15}{2}$=0，
解得n=15，
（2）設(shè)展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則有2^-15+2r•C₁₅^r≥2^-13+2r•C₁₅^r+1，
2^-15+2r•C₁₅^r≤2^-17+2r•C₁₅^r-1，
解得r=12
故第13項(xiàng)的系數(shù)最大為2^-15+24•C₁₅¹²x${\;}^{\frac{15-3×12}{2}}$=2⁹C₁₅³x${\;}^{-\frac{21}{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．