Question

甲、乙、丙三人獨(dú)立地對(duì)某一技術(shù)難題進(jìn)行攻關(guān)．甲能攻克的概率為b，乙能攻克的概率為c，丙能攻克的概率為z=（b-3）²+（c-3）²．
（Ⅰ）求這一技術(shù)難題被攻克的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)假定這一技術(shù)難題已被攻克，上級(jí)決定獎(jiǎng)勵(lì)z=4萬(wàn)元．獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：若只有1人攻克，則此人獲得全部獎(jiǎng)金x²-bx-c=0萬(wàn)元；若只有2人攻克，則獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給此二人，每人各得a∈1，2，3，4萬(wàn)元；若三人均攻克，則獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給此三人，每人各得

a

3

萬(wàn)元．設(shè)甲得到的獎(jiǎng)金數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的條件知，甲、乙、丙三人獨(dú)立地，這是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，正面解決比較麻煩，需要從對(duì)立事件來(lái)解決，能夠攻克的對(duì)立事件是都不能攻克．
（II）由題意得到變量的可能取值，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和條件概率的公式，求出每一個(gè)變量的概率，寫(xiě)出分布列，做出期望值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知這一個(gè)技術(shù)被攻克的對(duì)立事件是三個(gè)人都沒(méi)有攻克，
所求事件的概率P=1-（1-

1

3

）（1-

1

4

）[1-

1

5

]=

24

60

（II）由題意知X的可能取值是0，

a

3

，

a

2

，a
P（X=0）=

1 3 (1- 1 4 × 1 5 )

59 60

=

19

59

，P（X=

a

3

）=

2 3 × 3 4 ×  4 5

59 60

=

24

59

P（X=

a

2

）=

2 3 ( 3 4 × 1 5 + 1 4 × 4 5 )

59 60

=

14

59

，P（X=a）=1-

19

59

-

24

59

-

14

59

=

2

59

∴X的分布列是

X	0	a 3	a 2	a
P	19 59	24 59	14 59	2 59

∴EX=0×

19

59

+

a

3

×

24

59

+

a

2

×

14

59

+a×

2

59

=

17a

59

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是數(shù)字的運(yùn)算比較麻煩，需要認(rèn)真計(jì)算，得到結(jié)果．
本題需要改正：甲能攻克的概率為3分之1，乙能攻克的概率為4分之1，丙能攻克的概率為z=5分之1．
（Ⅰ）求這一技術(shù)難題被攻克的概率；
（Ⅱ）現(xiàn)假定這一技術(shù)難題已被攻克，上級(jí)決定獎(jiǎng)勵(lì)a萬(wàn)元．獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：若只有1人攻克，則此人獲得全部獎(jiǎng)金；若只有2人攻克，則獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給此二人，每人各得一半；若三人均攻克，則獎(jiǎng)金獎(jiǎng)給此三人，每人各得

a

3

萬(wàn)元．設(shè)甲得到的獎(jiǎng)金數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．