Question

已知函數(shù)f（x）=cossinx（x∈R），給出下列四個(gè)命題：
①若f（x₁）=-f（x₂）則x₁=-x₂
②f（x）的最小正周期是2π
③在區(qū)間[]上是增函數(shù)；
④f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=
其中真命題是（ ）
A．①②④
B．①③
C．②③
D．③④

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)二倍角公式將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和知判斷①；根據(jù)最小正周期的求法可判斷②；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷③；再由正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷④．
解答：解：∵f（x）=cosxsinx=sin2x
若f（x₁）=-f（x₂），則sin2x₁=-sin2x₂=sin（-2x₂）∴2x₁=-2x₂+2kπ時(shí)滿(mǎn)足條件，即x₁+x₂=kπ可以，故①不正確；
T=，故②不正確；
令，得-，當(dāng)k=0時(shí)，x∈[-，]f（x）是增函數(shù)，故③正確；
將x=代入函數(shù)f（x）得，f（）=-為最小值，故f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)，④正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的二倍角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)．基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握是解題的關(guān)鍵，一定要將基礎(chǔ)打牢．