已知數(shù)列{an}滿足,數(shù)列{bn}滿足bn=lnan,數(shù)列{cn}滿足cn=an+bn
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)試比較的大小,并說明理由;
(3)我們知道數(shù)列{an}如果是等差數(shù)列,則公差是一個常數(shù),顯然在本題的數(shù)列{cn}中,不是一個常數(shù),但是否會小于等于一個常數(shù)k呢?若會,求出k的取值范圍;若不會,請說明理由.
【答案】分析:(1)由,兩邊取倒數(shù)得,判斷出是等差數(shù)列,求出的通項(xiàng)公式后即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)由(1)得 ,考慮到兩個和式不易化簡或作差比較,為此采用逐項(xiàng)大小比較的辦法.構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-x+1,求導(dǎo)研究出f(x)的單調(diào)性,
可得出,即bi≤ai-1,當(dāng)且僅當(dāng)i=1時取等號.從而,當(dāng)且僅當(dāng)n=1時取等號.
(3)由(1)知,易知{cn}是一個遞減數(shù)列,取n=m+1,則=
所以k的取值范圍是[0,+∞).
解答:解:(1)由
兩邊取倒數(shù),得:,
是等差數(shù)列,首項(xiàng),公差d=1;
,從而,
(2)由(1)得 ,,
構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-x+1,

當(dāng)0<x<1時,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x>1時,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴f(x)≤f(1)=0,
即?x>0,lnx≤x-1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號,
,即bi≤ai-1,當(dāng)且僅當(dāng)i=1時取等號,
,當(dāng)且僅當(dāng)n=1時取等號,
(3)由(1)知,顯然{cn}是一個遞減數(shù)列,
對 n≠m,n∈N+,m∈N+恒成立.
取n=m+1,
=
∴存在k滿足恒成立,k的取值范圍是[0,+∞).
點(diǎn)評:本題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合.考查構(gòu)造(新數(shù)列,函數(shù))、轉(zhuǎn)化、計(jì)算、推理論證能力.
練習(xí)冊系列答案
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3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說明理由.

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已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項(xiàng)公式
 

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已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
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(1)若a1=
54
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(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1

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