Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且位于x軸上方，過點(diǎn)P作x軸的平行線交橢圓右準(zhǔn)線于點(diǎn)M，連接MF₂，
（1）若存在點(diǎn)P，使PF₁F₂M為平行四邊形，求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）若存在點(diǎn)P，使PF₁F₂M為菱形；
①求橢圓的離心率；
②設(shè)A（a，0）、B（0，b），求證：以F₁A為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)P（x₀，y₀），利用橢圓的幾何性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)得出P點(diǎn)橫坐標(biāo)的表達(dá)式，再結(jié)合橢圓的范圍得出關(guān)于a，c的不等關(guān)系，即可求出橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）①根據(jù)橢圓的兩種定義方法，構(gòu)造關(guān)于離心率的關(guān)系式，即可求出答案；
②先寫出以F₁A為直徑的圓方程，再證B（0，b）滿足方程即可．

解答：解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），則M(

a2

c

，y0)，
∵|PM|=|F₁F₂|=2c，
∴

a2

c

-x0=2c⇒x0=

a2

c

-2c，
由-a＜x0＜a⇒-a＜

a2

c

-2c＜a⇒

1

2

＜e＜1；
（2）①e=

|PF2|

|PM|

=

2a-|PF1|

|F1F2|

=

2a-|F1F2|

|F1F2|

=

2a-2c

2c

，⇒e=

1

e

-1⇒e=

-1± 5

2

，
∵0＜e＜1，∴e=

-1+ 5

2

；
②以F₁A為直徑的圓方程為（x+c）（x-a）+y²=0，
下證B（0，b）滿足方程，即-ac+b²=0…（*），
∵e²+e-1=0，
∴c²+ac-a²=0，
∴ac=a²-c²=b²，∴（*）成立，
∴以F₁A為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)B．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力．屬中檔題．