已知函數(shù)f（x）=lg（
21-x
+a）是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求滿足不等式f（2x+1）＜f（-x）的x的取值范圍；
（3）設g（x）=lg（x+m）（m∈R），若f（x）的圖象恒在g（x）的圖象上方，求實數(shù)m的取值范圍．
分析：（1）f（x）是R上的奇函數(shù)知，f（0）=0，得a的值；
（2）由f（x）的解析式，代入f（2x+1）＜f（-x）中，求出的x取值范圍；
（3）由f（x）恒在g（x）的圖象上方，得f（x）＞g（x），即得出m的解析式，從而求出m的范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=lg（
2
1-x
+a）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，即lg（
2
1-0
+a）=0，∴2+a=1，∴a=-1；
（2）∵當a=-1時，f（x）=lg（
2
1-x
-1）=lg（
1+x
1-x
），又f（2x+1）＜f（-x），∴l(xiāng)g
1+(2x+1)
1-(2x+1)
＜lg
1-x
1+x
，
∴0＜
1+x
-x
＜
1-x
1+x
，即
1+x
-x
＞0
1+x
-x
＜
1-x
1+x
，解得-1＜x＜-
1
3
；滿足不等式f（2x+1）＜f（-x）的x取值范圍是：（-1，-
1
3
）；
（3）∵g（x）=lg（x+m）（m∈R），f（x）的圖象恒在g（x）的圖象上方，∴f（x）＞g（x），即lg（
1+x
1-x
）＞lg（x+m），
∴
1+x
1-x
＞x+m＞0，
∴m＜
1+x
1-x
-x，設t=
1+x
1-x
-x，整理，得x2+tx+（1-t）=0，由t2-4（1-t）≥0，得t≥-2+2
2
，或t≤-2-2
2
；
∴m＜-2+2
2
；
所以，實數(shù)m的取值范圍是：（-∞，-2+2
2
）．
點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的應用以及對數(shù)函數(shù)的運算，不等式的解法、最值問題，是綜合性比較強的題目．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案