Question

11．已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₁且斜率為$\frac{4}{3}$的直線交橢圓E于P、Q兩點(diǎn)，若△PF₁F₂為直角三角形，則橢圓E的離心率為（　　）

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{7}}{7}$或$\frac{5}{7}$
• D． $\frac{5}{7}$或$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 通過橢圓的定義可得PF₁、PF₂，利用勾股定理及離心率公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：由題可知：$\frac{P{F}_{2}}{P{F}_{1}}=\frac{4}{3}$，即PF₂=$\frac{4}{3}$PF₁，
又PF₂+PF₁=2a，∴PF₁=$\frac{6}{7}$a，PF₂=$\frac{8}{7}$a，
由勾股定理可知：$4{c}^{2}=（\frac{6}{7}a）^{2}+（\frac{8}{7}a）^{2}=\frac{100}{49}{a}^{2}$，
即：${c}^{2}=\frac{25}{49}{a}^{2}$，
∴$（\frac{c}{a}）^{2}=\frac{25}{49}$，則e=$\frac{5}{7}$；
或$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{4}{3}$，$P{F}_{2}=\frac{8}{3}c$，則$P{F}_{1}=2a-\frac{8}{3}c$，
由$P{{F}_{1}}^{2}={F}_{1}{{F}_{2}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}$，解得e=$\frac{1}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查求橢圓的離心率，涉及到三角函數(shù)的定義、勾股定理等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．