(2012•海淀區(qū)一模)在正方體ABCD-A'B'C'D'中,若點(diǎn)P(異于點(diǎn)B)是棱上一點(diǎn),則滿足BP與AC'所成的角為45°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為( 。
分析:通過建立空間直角坐標(biāo)系,通過分類討論利用異面直線的方向向量所成的夾角即可找出所有滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù).
解答:解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)棱長(zhǎng)AB=1,B(1,0,1),C(1,1,1).
①在Rt△AAC中,tan∠AAC=
|AC|
|AA|
=
2
,因此∠AAC≠45°.
同理AB,AD與AC所成的角都為arctan
2
≠45°

故當(dāng)點(diǎn)P位于(分別與上述棱平行)棱BB,BA,BC上時(shí),與AC所成的角都為arctan
2
≠45°
,不滿足條件;
②當(dāng)點(diǎn)P位于棱AD上時(shí),設(shè)P(0,y,1),(0≤y≤1),則
BP
=(-1,y,0)
,
AC
=(1,1,1)

若滿足BP與AC'所成的角為45°,則
2
2
=|cos<
BP
,
AC
>|
=
|
BP
AC
|
|
BP
| |
AC
|
=
|-1+y|
1+y2
3
,化為y2+4y+1=0,無正數(shù)解,舍去;
同理,當(dāng)點(diǎn)P位于棱BC上時(shí),也不符合條件;
③當(dāng)點(diǎn)P位于棱AD上時(shí),設(shè)P(0,y,0),(0≤y≤1),則
BP
=(-1,y,-1)
,
AC
=(1,1,1)

若滿足BP與AC'所成的角為45°,則
2
2
=|cos<
BP
,
AC
>|
=
|
BP
AC
|
|
BP
| |
AC
|
=
|-2+y|
2+y2
3
,化為y2+8y-2=0,∵0≤y≤1,解得y=3
2
-4
,滿足條件,此時(shí)點(diǎn)P(0,3
2
-4,0)

④同理可求得棱AB上一點(diǎn)P(
3
-1,0,0)
,棱AA上一點(diǎn)P(0,0,
3
-1)

而其它棱上沒有滿足條件的點(diǎn)P.
綜上可知:滿足條件的點(diǎn)P有且只有3個(gè).
故選B.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系,通過分類討論利用異面直線的方向向量所成的夾角得到異面直線所成的角是解題的關(guān)鍵.
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(Ⅰ)求直方圖中x的值;
(Ⅱ)如果上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿,請(qǐng)估計(jì)學(xué)校600名新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿;
(Ⅲ)從學(xué)校的新生中任選4名學(xué)生,這4名學(xué)生中上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的人數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中新生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的頻率作為每名學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率)

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x2
9
-
y2
16
=1
的右焦點(diǎn),且平行于經(jīng)過一、三象限的漸近線的直線方程是( 。

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a+2i1-i
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2
2

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