Question

已知函數(shù)f（x）=
（Ⅰ）若k＞0且函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）如果當x≥2時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：n≥2，（2•3-2）（3•4-2）…[n（n+1）-2][（n+1）（n+2）-2]＞e^2n-3．

Answer 1

解（Ⅰ）因為 函數(shù)f（x）=，x＞0，則 f′（x）=-，
當 0＜x＜1時，＞0；當 x＞1時，f′（x）＜0．
所以 f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，
所以函數(shù)f（x）在 x=1處取得極大值；…．（2分）
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（其中k＞0）上存在極值，
所以解得；…．（4分）
（Ⅱ）不等式，又x≥2，則，，則；…．（6分）
令h（x）=x-2lnx，則，∵x≥2，h′（x）≥0，∴h（x）在[2，+∞）上單調遞增，∴h（x）_min=h（2）=2-2ln2＞0，
從而 g′（x）＞0，故g（x）在[2，+∞）上也單調遞增，所以g（x）_min=g（2）=2（1+ln2），
所以．a≤2（1+ln2）；…．（8分）
（Ⅲ）由（2）知：當a=3時，恒成立，即，，
令 x=n（n+1）-2，則；…．（10分）
所以 ，，…，
，
n個不等式相加得＞2n-3
即（2•3-2）（3•4-2）…（n（n+1）-2）（（n+1）（n+2）-2）＞e^2n-3…．（14分）
分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性，從而得到函數(shù)的極值為f（1），再由函數(shù)f（x）在區(qū)間（其中k＞0）上存在極值可得，由此求得實數(shù)k的取值范圍．
（Ⅱ）由題意可得x≥2時，，根據(jù)導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調性，求出函數(shù) 最小值，從而得到實數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）由（2）知：當a=3時，恒成立，即，令 x=n（n+1）-2，則．可得 ，，…，，把這n個不等式相加化簡即得所證．
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，函數(shù)在某點取得極值的條件，函數(shù)的恒成立問題，不等式性質的應用，屬于難題．