Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=2

2

，E、F分別是BC、AA₁的中點．求：
（Ⅰ）FE與底面所成角的大�。�
（Ⅱ）異面直線EF和A₁B所成角的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得FA⊥平面ABC，可得∠FEA即為FE與底面所成角，由等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E為BC的中點 可求AE，在Rt△AEF中求解即可
（Ⅱ）由E，F(xiàn)都為中點，考慮取AB的中點G，則可得FG∥BA₁，從而有∠GFE即為異面直線EF和A₁B所成角（或補(bǔ)角）分別求解FE，EG，F(xiàn)G，從而可求

解答：解：（Ⅰ）連接FE，由已知可得FA⊥平面ABC
∴∠FEA即為FE與底面所成角
∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E為BC的中點∴AE=

2

∵△AEF中AF=

2

，AE=

2

∴∠AEF=45°即FE與底面所成角45°
（Ⅱ）取AB的中點G，連接FG，EG則可得FG∥BA₁
所以∠GFE即為異面直線EF和A₁B所成角（或補(bǔ)角）
由（Ⅰ）可得FE=2，為FG=

1

2

BA1=

3

，EG=1
所以可得∠GFE=30°
異面直線EF和A₁B所成角的大小為30°

點評：本題所考查的時立體幾何中最為基本的類型的試題：直線與平面所成的角的求解與異面直線所成的角度的求解，解決此問題的關(guān)鍵是要能夠做出所要求的角，然后再通過解三角形進(jìn)行求解．