Question

15．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點為 F，上頂點為 A，P 為C₁上任一點，MN是圓C₂：x²+（y-3）²=1的一條直徑，在y軸上截距為3-$\sqrt{2}$的直線l與AF平行且與圓C₂相切．
（1）求橢圓C₁的離心率；
（2）若橢圓C₁的短軸長為8，求$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得AF的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，得出直線l的方程，再由直線與圓相切得a²=2c²，從而求得離心率；
（2）求得b=4，可得橢圓方程，圓的圓心和半徑，設(shè)P（x，y），$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{P{C}_{2}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}M}$）•（$\overrightarrow{P{C}_{2}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}N}$）=$\overrightarrow{P{C}_{2}}$²-$\overrightarrow{{C}_{2}N}$²，化簡整理，運用二次函數(shù)的最值和橢圓的范圍，即可得到最大值．

解答 解：（1）由題意可得A（0，b），F(xiàn)（c，0），
直線l的斜率為k=k_AF=-$\frac{c}$，
直線l的方程為bx+cy-（3-$\sqrt{2}$）c=0，
因為直線與圓c₂：x²+（y-3）²=1相切，
可得d=$\frac{|3c-3c+\sqrt{2}c|}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=1，即a²=2c²，
從而e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）設(shè)P（x，y）、圓C₂的圓心記為C₂（0，3），半徑為1．
橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1（c＞0），
由題意可得2b=8，即b=4，即c=4，
則橢圓方程為x²+2y²=32，即有x²=32-2y²，
又$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{P{C}_{2}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}M}$）•（$\overrightarrow{P{C}_{2}}$+$\overrightarrow{{C}_{2}N}$）=$\overrightarrow{P{C}_{2}}$²-$\overrightarrow{{C}_{2}N}$²
=x²+（3-y）²-1=-（y+3）²+49（-4≤y≤4）．
當(dāng)y=-3時，（$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$）_max=49．
故$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最大值為49．

點評 本題主要考查直線、圓、橢圓的基本性質(zhì)及位置關(guān)系的應(yīng)用，滲透向量、函數(shù)最值等問題，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力．