Question

已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0）直線PA與直線PB斜率之積為-，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線c的方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N是曲線C上任意兩點(diǎn)，且|-|-|+|，是否存在以原點(diǎn)為圓心且與MN總相切的圓？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則由直線PA與直線PB斜率之積為-，得．
整理得曲線C的方程為．----（4分）
（Ⅱ）若|-|=|+|，則．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直線MN斜率不存在，則N（x₁，-y₁）．
由得，又，∴．
∴直線MN方程為．
∴原點(diǎn)O到直線MN的距離d=．----（6分）
若直線MN斜率存在，設(shè)方程為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=，x₁x₂=．（*）----（8分）
由得，整理得（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．
（*）式代入：（k²+1）×+km×+m²=0
解得7m²=12（k²+1）．----（10分）
此時(shí)原點(diǎn)O到直線MN的距離d=．
故原點(diǎn)O到直線MN的距離恒為d=．
∴存在以原點(diǎn)為圓心且與MN總相切的圓，方程為．----（12分）
分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則由直線PA與直線PB斜率之積為-，建立等式，即可求曲線C的方程；
（Ⅱ）若|-|=|+|，則．分斜率存在與不存在，結(jié)合橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，可得原點(diǎn)O到直線MN的距離恒為d=，從而存在以原點(diǎn)為圓心且與MN總相切的圓．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．