Question

函數(shù)f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx．
（I）設F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的兩個極值點的充要條件．
（II）求證：當a≥0時，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

Answer 1

解：（I）函數(shù)f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，
其定義域為（0，+∞）．
∴=，
∴F（x）有兩個極值點，
∴方程2ax²+2x-1=0有兩個不相等的正根，
∴，
解得，
∴F（x）有兩個極值點的充要條件是．
（II）證明：不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是：
F（x）=ax²+2x+1-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即在（0，+∞）上恒成立．
令h（x）=lnx-（2x+1），則，
當x∈時，h′（x）＞0，
當時，h′（x）＜0．
∴時，h（x）_max=，
故x∈（0，+∞），都有，
∴當a≥0時，在（0，+∞）上恒成立，
即當a≥0時，不等式f（x）≥g（x）恒成立．
分析：（I）由F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，其定義域為（0，+∞），知=，由F（x）有兩個極值點，知方程2ax²+2x-1=0有兩個不相等的正根，由此能求出F（x）有兩個極值點的充要條件．
（II）不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是在（0，+∞）上恒成立．令h（x）=lnx-（2x+1），則，由此能夠證明當a≥0時，不等式f（x）≥g（x）恒成立．
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易錯點是不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是在（0，+∞）上恒成立，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．