Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC＝CA＝AA₁＝2，側(cè)棱AA₁⊥面ABC，D、E分別是棱A₁B₁、AA₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC₁；

（Ⅱ）求二面角E－BC₁－D的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)M，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，∴在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，，且則四邊形A₁DBM為平行四邊形，，又平面，平面平面（Ⅱ）

【解析】

試題分析：取的中點(diǎn)M，，

為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，∴，

在三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，

，且，

則四邊形A₁DBM為平行四邊形，，

，又平面，平面，

平面．  6分

（Ⅱ）連接DM，分別以、、所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

∴，，．

設(shè)面BC₁D的一個(gè)法向量為，面BC₁E的一個(gè)法向量為，

則由得取，

又由得取，

則，

故二面角E－BC₁－D的余弦值為．  12分

考點(diǎn)：線(xiàn)面平行的判定及二面角求解

點(diǎn)評(píng)：利用空間向量法證明線(xiàn)面平行只需證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直且直線(xiàn)不在面內(nèi)即可，求二面角時(shí)首先找到兩面的法向量，求出法向量的夾角，觀察圖形得到二面角（等于夾角或與夾角互補(bǔ)）