Question

（本小題滿分13分）

如圖, 是邊長(zhǎng)為的正方形，平面，，，與平面所成角為.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得平面，并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)， 平面 (Ⅱ) (Ⅲ)坐標(biāo)為，

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032608423421878449/SYS201303260843069687331167_DA.files/image010.png">平面，所以.                  ……2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032608423421878449/SYS201303260843069687331167_DA.files/image012.png">是正方形，所以，

又相交

從而平面.                                                  ……4分

(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032608423421878449/SYS201303260843069687331167_DA.files/image014.png">兩兩垂直，

所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032608423421878449/SYS201303260843069687331167_DA.files/image017.png">與平面所成角為，即，                    ……5分

所以.

由可知，.                                   ……6分

則，，，，，

所以，，                              ……7分

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則.                                            ……8分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032608423421878449/SYS201303260843069687331167_DA.files/image004.png">平面，所以為平面的法向量，，

所以.                            ……9分

因?yàn)槎�面角為銳角，所以二面角的余弦值為.              ……10分

(Ⅲ)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè).

則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032608423421878449/SYS201303260843069687331167_DA.files/image045.png">平面，

所以，                                                    ……11分

即，解得.                                        ……12分

此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，，符合題意.                   ……13分

考點(diǎn)：本小題主要考查線面垂直的證明、二面角的求解和探索性問(wèn)題的求解，考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力以及推理論證能力.

點(diǎn)評(píng)：證明線面垂直時(shí)，不要忘記強(qiáng)調(diào)兩條直線相交；用向量求二面角時(shí)，要判斷二面角時(shí)銳角還是鈍角.