Question

已知函數f（x）=ln（1+x）-x
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）記f（x）在區(qū)間[0，π]（n∈N^*）上的最小值為bx令an=ln（l+n）-bx
（i）如果對一切n，不等式恒成立，求實數c的取值范圍；
（ii）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數f（x）的導數，再根據導函數的正負和原函數的關系可得答案．
（2）（i）先求出b_n的值然后代入到an=ln（l+n）-bn放縮可得答案．
（ii）根據（i）知．，然后用數學歸納法證明即可．
解答：解：（I）因為f（x）=ln（1+x）-x，所以函數定義域為（-1，+∞），且f′（x）=-1=．
由f′（x）＞0得-1＜x＜0，f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，0）；
由f’（x）＜0得x＞0，f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，+∞）．
（II）因為f（x）在[0，n]上是減函數，所以b_n=f（n）=ln（1+n）-n，
則a_n=ln（1+n）-b_n=ln（1+n）-ln（1+n）+n=n．
（i）
＞．
又lim，
因此c＜1，即實數c的取值范圍是（-∞，1）．
（Ⅱ）因為f（x）在[0，n]上是減函數，所以b_n=f（n）=ln（1+n）-n，
則a_n=ln（1+n）-b_n=ln（1+n）-ln（1+n）+n=n．
（i）因為對n∈N*恒成立．所以對n∈N*恒成立．
則對n∈N*恒成立．
設，n∈N*，則c＜g（n）對n∈N*恒成立．
考慮．
因為=0，
所以g（x）在[1，+∞）內是減函數；則當n∈N*時，g（n）隨n的增大而減小，
又因為=1．
所以對一切n∈N，g（n）＞1因此c≤1，即實數c的取值范圍是（-∞，1]．
（ⅱ）由（�。┲�．
下面用數學歸納法證明不等式（n∈N⁺）
①當n=1時，左邊=，右邊=，左邊＜右邊．不等式成立．
②假設當n=k時，不等式成立．即．
當n=k+1時，

=，
即n=k+1時，不等式成立
綜合①、②得，不等式成立．
所以．
即．
點評：本小題主要考查函數的單調性、最值、不等式、數列等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分析問題和解決問題的能力．此題為壓軸題，所以平時可以讓學生學會放棄一些自己能力范圍之外的題目，把多余的時間多花點在中低檔題目上，可是80%的分數呀，多么可觀，可是縱觀歷年的高考成績來看又有多少人真正的做到了．