Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）記f（x）在區(qū)間[0，π]（n∈N^*）上的最小值為bx令an=ln（l+n）-bx
（i）如果對(duì)一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；
（ii）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)和原函數(shù)的關(guān)系可得答案．
（2）（i）先求出b_n的值然后代入到an=ln（l+n）-bn放縮可得答案．
（ii）根據(jù)（i）知．，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
解答：解：（I）因?yàn)閒（x）=ln（1+x）-x，所以函數(shù)定義域?yàn)椋?1，+∞），且f′（x）=-1=．
由f′（x）＞0得-1＜x＜0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）；
由f’（x）＜0得x＞0，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．
（II）因?yàn)閒（x）在[0，n]上是減函數(shù)，所以b_n=f（n）=ln（1+n）-n，
則a_n=ln（1+n）-b_n=ln（1+n）-ln（1+n）+n=n．
（i）
＞．
又lim，
因此c＜1，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-∞，1）．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）在[0，n]上是減函數(shù)，所以b_n=f（n）=ln（1+n）-n，
則a_n=ln（1+n）-b_n=ln（1+n）-ln（1+n）+n=n．
（i）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211835040348516/SYS201310232118350403485021_DA/6.png">對(duì)n∈N*恒成立．所以對(duì)n∈N*恒成立．
則對(duì)n∈N*恒成立．
設(shè)，n∈N*，則c＜g（n）對(duì)n∈N*恒成立．
考慮．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211835040348516/SYS201310232118350403485021_DA/11.png">=0，
所以g（x）在[1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)；則當(dāng)n∈N*時(shí)，g（n）隨n的增大而減小，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023211835040348516/SYS201310232118350403485021_DA/12.png">=1．
所以對(duì)一切n∈N，g（n）＞1因此c≤1，即實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-∞，1]．
（ⅱ）由（ⅰ）知．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（n∈N⁺）
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=，右邊=，左邊＜右邊．不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立．即．
當(dāng)n=k+1時(shí)，

=，
即n=k+1時(shí)，不等式成立
綜合①、②得，不等式成立．
所以．
即．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、不等式、數(shù)列等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．此題為壓軸題，所以平時(shí)可以讓學(xué)生學(xué)會(huì)放棄一些自己能力范圍之外的題目，把多余的時(shí)間多花點(diǎn)在中低檔題目上，可是80%的分?jǐn)?shù)呀，多么可觀，可是縱觀歷年的高考成績(jī)來(lái)看又有多少人真正的做到了．