Question

16．如圖，AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD．若 PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD．
（Ⅰ）求證：面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）側(cè)棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置并證明，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得PA⊥AD，根據(jù)側(cè)面PAD⊥底面ABCD．可得PA⊥底面ABCD，于是PA⊥CD．取AD的中點M，連接CM，根據(jù)已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD．可得四邊形ABCM是正方形，可得CM=$\frac{1}{2}$AD，可得CD⊥AC．進而證明CD⊥平面PAC，即可得出結(jié)論．
（Ⅱ）點E為PA的中點．下面給出證明分析：分別取PA，PD的中點E，F(xiàn)．連接BE，EF，F(xiàn)C．由三角形中位線定理與已知可得：四邊形BEFC是平行四邊形．可得BE∥CF．再利用線面平行的判定定理即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD，又側(cè)面PAD⊥底面ABCD．側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD．
∴PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
取AD的中點M，連接CM，
在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=$\frac{1}{2}$AD．
則四邊形ABCM是正方形，∴CM=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠ACD=90°．
∴CD⊥AC．
又AC∩PA=A，
∴CD⊥平面PAC，
∴平面PCD⊥平面PAC．
（Ⅱ）點E為PA的中點．下面給出證明：
分別取PA，PD的中點E，F(xiàn)．連接BE，EF，F(xiàn)C．
由三角形中位線定理可得：$EF\underset{∥}{=}\frac{1}{2}$AD，已知$BC\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AD$．
∴$EF\underset{∥}{=}BC$．
∴四邊形BEFC是平行四邊形．
∴BE∥CF．
又BE?平面PCD，CF?平面PCD．
∴BE∥平面PCD．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、線面面面平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．