Question

已知橢圓，過(guò)焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)E，判斷是否為定值，若是，計(jì)算出該定值；不是，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）；（2）是定值0.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線(xiàn)和橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線(xiàn)方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線(xiàn)方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問(wèn)題中結(jié)論.

試題解析：（1）由條件得，所以方程 4分

（2）易知直線(xiàn)l斜率存在，令

由 5分

6分

由

得 7分

由

得 8分

將代入

有 . 13分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線(xiàn)與橢圓的綜合應(yīng)用.