Question

 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)B恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且離心率等于，直線(xiàn)與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）橢圓C的右焦點(diǎn)F是否可以為的垂心？若可以，求出直線(xiàn)的方程；若不行，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程：，

由題意知，

                      ∴ 橢圓C的方程為： 

  （Ⅱ）假設(shè)存在這樣的直線(xiàn)，使得是的垂心，直線(xiàn)BF的斜率為，

  從而直線(xiàn)的斜率為，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

  由，設(shè)

則，且，

，解得或 

當(dāng)時(shí)點(diǎn)B為直線(xiàn)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，不合題意舍去；

當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與橢圓相交兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足題意；

綜上可知直線(xiàn)的方程為時(shí)，橢圓C的右焦點(diǎn)F是可以為的垂心 。

考點(diǎn)：本題考查橢圓的基本性質(zhì)、橢圓方程的求法以及直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問(wèn)題的做法，為圓錐曲線(xiàn)的常規(guī)題，應(yīng)當(dāng)掌握。考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力，知識(shí)的遷移能力以及運(yùn)算能力。解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)分析。