Question

已知函數(shù)和點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、．

（Ⅰ）求證：_|MN|=  

（Ⅱ）是否存在，使得、與三點(diǎn)共線．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對(duì)任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)總存在個(gè)實(shí)數(shù)，，使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，  ，

∴切線的方程為：，

又切線過點(diǎn)， 有，即，  （1）

同理，由切線也過點(diǎn)，得．（2）

由（1）、（2），可得是方程的兩根，  （ * ）

，

把（ * ）式代入,得,

因此，函數(shù)的表達(dá)式為．

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)、與共線時(shí)，，

＝，即＝，

化簡(jiǎn)，得，

              ，．   （3）

       把（*）式代入（3），解得．    存在，使得點(diǎn)、與三點(diǎn)共線，且 ．

       （Ⅲ）解法：易知在區(qū)間上為增函數(shù)，，

       則．

依題意，不等式對(duì)一切的正整數(shù)恒成立，

，

即對(duì)一切的正整數(shù)恒成立．

， ，

．  由于為正整數(shù)，．

又當(dāng)時(shí)，存在，，對(duì)所有的滿足條件．

因此，的最大值為．

解法：依題意，當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度最小時(shí)，得到的最大值，即是所求值．

，長(zhǎng)度最小的區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，與解法相同分析，得，解得．