Question

已知橢圓E：＋y²＝1(a＞1)的上頂點為M(0，1)，兩條過M的動弦MA、MB滿足MA⊥MB.
(1)當坐標原點到橢圓E的準線距離最短時，求橢圓E的方程；
(2)若Rt△MAB面積的最大值為，求a；
(3)對于給定的實數(shù)a(a＞1)，動直線AB是否經過一定點？如果經過，求出定點坐標(用a表示)；反之，說明理由．

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）a＝3（3）

(1)由題，a²＝c²＋1，d＝＝＝c＋≥2，當c＝1時取等號，此時a²＝1＋1＝2，故橢圓E的方程為＋y²＝1.
(2)不妨設直線MA的斜率k>0，直線MA方程為y＝kx＋1，由
①代入②整理得(a²k²＋1)x²＋2a²kx＝0，
解得x_A＝－，故A，
由MA⊥MB知直線MB的斜率為－，可得B，
則MA＝，MB＝.
則S_△MAB＝MA·MB＝(1＋k²)
＝.
令k＋＝t(t≥2)，
則S_△MAB＝.
當t＝時取“＝”，∵t＝≥2，得a>＋1.而(S_△MAB)_max＝，故a＝3或a＝(舍)．綜上a＝3.
(3)由對稱性，若存在定點，則必在y軸上．
當k＝1時，A，直線AB過定點Q.下面證明A、Q、B三點共線：
∵k_AQ＝，
k_BQ＝.
由k_AQ＝k_BQ知A、Q、B三點共線，即直線AB過定點Q.