Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n項和為S_n．
（1）求{a_n}及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{S}_{n}-n}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，解方程可得首項和公差，即可得到通項和求和公式；
（2）求得b_n=$\frac{1}{{S}_{n}-n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡計算即可得到．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₃=7，a₅+a₇=26，可得a₁+2d=7，2a₁+10d=26，
解得a₁=3，d=2，
即有a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=3n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•2=n²+2n；
（2）b_n=$\frac{1}{{S}_{n}-n}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
前n項和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查運算能力，屬于中檔題．