Question

【題目】若函數(shù)h（x）滿足
①h（0）=1，h（1）=0；
②對任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上單調(diào)遞減．則稱h（x）為補函數(shù)．已知函數(shù)h（x）= （λ＞﹣1，p＞0）
（1）判函數(shù)h（x）是否為補函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函數(shù)h（x）的中介元，記p= （n∈N+）時h（x）的中介元為xn ， 且Sn= ，若對任意的n∈N+ ， 都有Sn＜ ，求λ的取值范圍；
（3）當(dāng)λ=0，x∈（0，1）時，函數(shù)y=h（x）的圖象總在直線y=1﹣x的上方，求P的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函數(shù)h（x）是補函數(shù)，證明如下：

①h（0）= =1，h（1）= =0；

②任意a∈[0，1]，有h（h（a））=h（ ）= =a

③令g（x）=（h（x））p，有g(shù)′（x）= = ，

又因為λ＞﹣1，p＞0，

所以當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，故h（x）在（0，1）上是減函數(shù)

由上證，函數(shù)h（x）是補函數(shù)

（2）

解：當(dāng)p= （n∈N*），由h（x）=x得 ，

（i）當(dāng)λ=0時，中介元xn= ，

（ii）當(dāng)λ＞﹣1且λ≠0時，由（*）得 = ∈（0，1）或 = （0，1），得中介元xn= ，

綜合（i）（ii）：對任意的λ＞﹣1，中介元為xn= ，

于是當(dāng)λ＞﹣1時，有Sn= = = ，

當(dāng)n無限增大時， 無限接近于0，Sn無限接近于 ，

故對任意的非零自然數(shù)n，Sn＜ 等價于 ，即λ∈[3，+∞）

（3）

解：當(dāng)λ=0時，h（x）= ，中介元為 ．

<>（i）0＜p≤1時， ，中介元為 ≤ ，所以點（xp，h（xp））不在直線y=1﹣x的上方，不符合條件；

（ii）當(dāng)p＞1時，依題意只需 ＞1﹣x在x∈（0，1）時恒成立，也即xp+（1﹣x）p＜1在x∈（0，1）時恒成立

設(shè)φ（x）=xp+（1﹣x）p，x∈（0，1），則φ′（x）=p（xp﹣1﹣（1﹣x）p﹣1）

令φ′（x）=0，得x= ，且當(dāng)x∈（0， ）時，φ′（x）＜0，當(dāng)x∈（ ，1）時，φ′（x）＞0，又φ（0）=φ（1）=1，所以x∈（0，1）時，φ（x）＜1恒成立．

綜上，p的取值范圍是（1，+∞）

【解析】（1）可通過對函數(shù)h（x）= （λ＞﹣1，p＞0）進(jìn)行研究，探究其是否滿足補函數(shù)的三個條件來確定函數(shù)是否是補函數(shù)；
（2）由題意，先根據(jù)中介元的定義得出中介元xn通式，代入Sn= ，計算出和，然后結(jié)合極限的思想，利用Sn＜ 得到參數(shù)的不等式，解出它的取值范圍；
（3）λ=0，x∈（0，1）時，對參數(shù)p分類討論由函數(shù)y=h（x）的圖象總在直線y=1﹣x的上方這一位置關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解出p的取值范圍．