Question

2．已知直線l與橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$交于A，B兩點，且|AB|=2，則直線l與圓x²+y²=1的位置關系為（　�。�

• A． 相離
• B． 相交
• C． 相切
• D． 相交或相切

Answer 1

分析 畫出橢圓與圓的圖形，通過線段AB的距離，判斷位置關系即可．

解答 解：橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$與圓x²+y²=1的圖形如圖，AB的距離為2，顯然AB是橢圓的短軸長時，直線l與橢圓相交，橢圓的通經(jīng)長為：$\sqrt{3}$，
在圖形中存在|AB|=2，直線l與圓相切，設直線l：y=kx+m，由題意可得：$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$…①，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，可得x₁+x₂=$\frac{-8mk}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=2，代入x₁+x₂，x₁x₂，化簡整理可得：$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}\sqrt{4{k}^{2}-{m}^{2}+1}=1$…②
聯(lián)立①②消去m可得：$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+4{k}^{2}}\sqrt{3{k}^{2}}=1$，化簡可得：4k⁴-4k²+1=0，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以轉(zhuǎn)化的直線l存在，由4條．
所以直線與圓的位置關系是相交或相切．
故選：D．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及圓的圖形的應用，考查數(shù)形結合分析問題解決問題的能力．