Question

4．在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，點M，N分別為AB，BC的中點，點P為△ABC內(nèi)部任一點，則$\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{MP}$取值范圍為（　　）

• A． $（{-\frac{3}{4}，\frac{3}{4}}）$
• B． $（{-\frac{4}{3}，\frac{4}{3}}）$
• C． $（{0，\frac{3}{4}}）$
• D． $（{-\frac{3}{4}，0}）$

Answer 1

分析 建立坐標系，設(shè)P（x，y），用x，y表示出$\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{MP}$，利用線性規(guī)劃知識求出最值．

解答 解：以C為原點建立平面直角坐標系如圖所示：
則A（0，1），B（1，0），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，0），∴直線AB的方程為x+y=1．
設(shè)P（x，y），則$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{MP}$=（x-$\frac{1}{2}$，y-$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{MP}$=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）-（y-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}x$-y+$\frac{1}{4}$，
令z=$\frac{1}{2}x$-y+$\frac{1}{4}$，則y=$\frac{1}{2}$x-z+$\frac{1}{4}$．
∵P（x，y）在△ABC內(nèi)部，
由圖可知當直線y=$\frac{1}{2}$x-z+$\frac{1}{4}$經(jīng)過點A時，截距最大，即z最小，
當直線y=$\frac{1}{2}$x-z+$\frac{1}{4}$經(jīng)過點B時，截距最小，即z最大，
∴z_min=$\frac{1}{2}×0-1+\frac{1}{4}$=-$\frac{3}{4}$，z_max=$\frac{1}{2}×1$-0+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
故選A．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于中檔題．