Question

（2010•湖北模擬）如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BC=2，且M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在CC₁上，NC=

1

2

（1）求證：AB₁⊥MN
（2）求二面角M-AB₁-N的大�。�

Answer 1

分析：（1）可利用三垂線定理證明：即證明MN與AB₁的射影垂直．故可連接MA、B₁M則根據(jù)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的性質(zhì)可得平面ABC⊥平面BB₁C₁C再利用面面垂直的性質(zhì)定理可得
AM⊥平面BB₁C₁C從而可得B₁M是AB₁在平面BB₁C₁C上的射影然后再利用三角形的有關(guān)知識(shí)證明出B₁M⊥MN即可．
（2）利用二面角的定義先將二面角M-AB₁-N的平面角作出來然后在解三角形即可：由（1）知可過點(diǎn)M作ME⊥AB₁，垂足為E，連接EN則根據(jù)三垂線定理可得EN⊥AB₁則根據(jù)二面角的定義∠MEN即為二面角M-AB₁-N的平面角然后在解三角形MEN求出∠MEN即可．

解答：解：（1）連接MA、B₁M，
在正△ABC中AM⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AM⊥平面BB₁C₁C，B₁M是AB₁在平面BB₁C₁C上的射影，M是BC的中點(diǎn)，N在CC₁上，NC=

1

2

∴在Rt△B₁BM與Rt△MCN中，

NC

MC

=

BM

BB1

=

1

2

，
∴∠BB₁M=∠NMC，∠BMB₁=∠MNC，∴∠B₁MN=90°．
∴B₁M⊥MN，由三垂線定理知AB₁⊥MN．（6分）
（2）過點(diǎn)M作ME⊥AB₁，垂足為E，連接EN，由（1）知MN⊥平面AMB₁，
∴EN⊥AB₁（三垂線定理），∴∠MEN即為二面角M-AB₁-N的平面角，由AM⊥平面BC₁，知AM⊥B₁M．
在Rt△AMB₁中，ME=

3 • 5

2 2

=

30

4

，又MN=

1+( 1 2 )2

=

5

2

，
故在Rt△EMN中，tan∠MEN=

MN

ME

=

6

3

，
∴二面角M-AB₁-N的正切值為

6

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了線線垂直的證明和二面角的求解，屬�？碱}目，較難．解題的關(guān)鍵是要掌握證明線線垂直的常用方法：三垂線定理或其逆定理而對(duì)于二面角的求解要現(xiàn)根據(jù)二面角的定義作出其平面角然后再證明此角即為其平面角即常說的“先作后證”！