Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M（1，0）與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（1，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N（3，2），記直線AN，BN的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁+k₂為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，，a²-b²=2，利用點(diǎn)M（1，0）與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直，可得b=|OM|=1，從而可得橢圓的方程；
（II）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，求出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線AN，BN的斜率，即可求得結(jié)論；②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，直線l的方程為：y=k（x-1），代入，利用韋達(dá)定理及斜率公式可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）依題意，，a²-b²=2，
∵點(diǎn)M（1，0）與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直，
∴b=|OM|=1，
∴．…（3分）
∴橢圓的方程為．…（4分）
（II）①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由解得．
設(shè)，，則為定值．…（5分）
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x-1）．
將y=k（x-1）代入整理化簡(jiǎn)，得（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．…（6分）
依題意，直線l與橢圓C必相交于兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，．…（7分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以=
==
==．．…．…（13分）
綜上得k₁+k₂為常數(shù)2..…．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．