Question

設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，上頂點為A，離心率為，在x軸負半軸上有一點B，且．
（1）若過A、B、F₂三點的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F₂作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，得，所以|F₁F₂|=a
∵|AF₁|=|AF₂|=a，，∴F₁為BF₂的中點，
∴|AF₁|=|AF₂|=|F₁F₂|=a
∴△ABF₂的外接圓圓心為，半徑r=|F₁A|=a…（3分）
又過A、B、F₂三點的圓與直線相切，所以
∴a=2，∴c=1，b²=a²-c²=3．
∴所求橢圓方程為…（6分）
（2）由（1）知F₂（1，0），設(shè)l的方程為：y=k（x-1）
將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則…（8分）
假設(shè)存在點P（m，0），使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，
由于菱形對角線垂直，所以
又
又MN的方向向量是（1，k），故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，則k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
即
由已知條件知k≠0且k∈R，
∴…（11分）
∴，
故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是…（13分）
分析：（1）根據(jù)，得，所以|F₁F₂|=a，利用，可得F₁為BF₂的中點，從而可得△ABF₂的外接圓圓心為，半徑r=|F₁A|=a，根據(jù)過A、B、F₂三點的圓與直線相切，利用點到直線的距離公式，即可確定橢圓方程；
（2）由（1）知F₂（1，0），設(shè)l的方程為：y=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，結(jié)合菱形對角線垂直，所以，可得m，k之間的關(guān)系，從而可得結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，確定橢圓方程，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．