Question

如圖所示，等腰△ABC的底邊，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B，D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EF⊥AB，現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積．
（1）求V（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，V（x）取得最大值？
（3）當(dāng)V（x）取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求底面面積，再求出高，即可求V（x）的表達(dá)式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)，來(lái)求V（x）的最大值，
（3）過(guò)F作MF∥AC交AD于M，得到異面直線所成的角，然后求異面直線AC與PF所成角的余弦值．
解答：解：（1）由折起的過(guò)程可知，PE⊥平面ABC，

V（x）=（）

（2），所以x∈（0，6）時(shí)，v'（x）＞0，V（x）單調(diào)遞增；
時(shí)v'（x）＜0，V（x）單調(diào)遞減；
因此x=6時(shí)，V（x）取得最大值；
（3）過(guò)F作MF∥AC交AD與M，
則，
PM=，，
在△PFM中，，
∴異面直線AC與PF所成角的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的體積，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，異面直線所成的角，考查空間想象能力、邏輯思維能力，是中檔題．