Question

11．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+3}}（n∈{N^*}）$，則求{a_n}的通項公式a_n=$\frac{2}{{{3^n}-1}}$．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{2}{{a}_{n+1}}$+1=3（$\frac{2}{{a}_{n}}$+1），繼而得到{$\frac{2}{{a}_{n}}$+1}是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列，即可求出答案．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+3}}（n∈{N^*}）$，
∴a_n+1a_n+3a_n+1=a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，
∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}$=$\frac{6}{{a}_{n}}$+2
∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}$+1=3（$\frac{2}{{a}_{n}}$+1），
∵a₁=1，
∴$\frac{2}{{a}_{1}}$+1=3，
∴{$\frac{2}{{a}_{n}}$+1}是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{2}{{a}_{n}}$+1=3ⁿ，
∴a_n=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$，
故答案為：$\frac{2}{{{3^n}-1}}$

點評 本題考查數(shù)列的通項公式，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．