Question

設(shè)拋物線y²=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上,且BC∥x軸,證明:直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.

Answer 1

詳見解析

試題分析：證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，實(shí)質(zhì)證明三點(diǎn)共線，即證直線與直線的斜率相等. 設(shè)A(x1,y1)，則只需證即可.利用三點(diǎn)共線,可用A(x1,y1)表示出點(diǎn)B縱坐標(biāo)為，從而點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－,).因此直線CO的斜率為k===,所以直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.
試題解析：證:如圖所示,因?yàn)閽佄锞�y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F(,0)，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為x=my+       2分
代入拋物線方程得y2－2pmy－p2=0.
若記A(x1,y1)、B(x2,y2)，則y1、y2是該方程的兩個(gè)根，所以y1y2=－p2    7分.
因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=－上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－,y2).
故直線CO的斜率為k===,
即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O.        12分