已知矩陣A將點(1,0)變換為(2,3),且屬于特征值3的一個特征向量是
1
1
,(1)求矩陣A.(2)
β
=
4
0
,求A5
β
分析:(1)先設(shè)矩陣 A=
ab
cd
,這里a,b,c,d∈R,由二階矩陣A有特征值λ=3及對應(yīng)的一個特征向量及矩陣A對應(yīng)的變換將點(1,0)變換為(2,3),得到關(guān)于a,b,c,d的方程組,即可求得矩陣A.
(2)先求矩陣A的特征多項式,從而求得特征值與特征向量,進(jìn)而可求A5
β
解答:解:(1)設(shè)A=
ab
cd
,由
ab
cd
1
0
=
2
3
得,
a=2
c=3
,

ab
cd
1
1
=3
1
1
=
3
3
得,
a+b=3
c+d=3
,所以
b=1
d=0

所以A=
21
30
.                 7分
(2)A=
21
30
的特征多項式為f(λ)=
.
λ-2-1
-3λ
.
= (λ -3)(λ+1)

令f(λ)=0,可得λ1=3,λ2=-1,
λ1=3時,
α1
=
1
1
,λ2=-1時,
α2
=
1
-3

β
=m
α1
+
α2
,則
β
=
4
0
=3
α1
+
α2

A5
β
=3×35
α1
-
α2
=
36-1
36+3
…14分.
點評:本題以變換為載體,考查待定系數(shù)法求矩陣,正確理解矩陣與變換的關(guān)系,合理運用特征值、特征向量是解題的關(guān)鍵.
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已知矩陣A將點(1,0)變換為(2,3),且屬于特征值3的一個特征向量是
1
1
,求矩陣A.

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β
=
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