Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：．
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求實(shí)數(shù)a為何值時(shí)4aS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，求出，和，令n=1，2，3即可求得b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）根據(jù)，進(jìn)行變形得到，構(gòu)造等差數(shù)列{}，并求出其通項(xiàng)，進(jìn)而可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）根據(jù)（2）結(jié)果，可以求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法求S_n，構(gòu)造函數(shù)f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（n）的最值問(wèn)題，可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）∵
∴，，
，，
（2）∵
∴
∴數(shù)列{}是以-4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列
∴
∴；
（3），
∴
∴
由條件可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立即可滿足條件，
設(shè)f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
當(dāng)a=1時(shí)，f（n）=-3n-8＜0恒成立
當(dāng)a＞1時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立
當(dāng)a＜1時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸
f（n）在（1，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)．
f（1）=（a-1）n²+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0
∴∴a＜1時(shí)4aS_n＜b恒成立
綜上知：a≤1時(shí)，4aS_n＜b恒成立．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列的求和問(wèn)題，題目綜合性強(qiáng)，特別是問(wèn)題（3）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，能有效考查學(xué)生的邏輯思維能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類(lèi)討論的思想．