Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{ax，x＜0}\end{array}\right.$若方程f（-x）=f（x）有五個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，-e）
• B． （-∞，-1）
• C． （1，+∞）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 求出f（-x）的解析式，根據(jù)x的范圍不同得出兩個(gè)不同的方程，由兩個(gè)方程的關(guān)系得出f（-x）=f（x）在（0，+∞）上有兩解，根據(jù)函數(shù)圖象和導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出a的范圍．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{ax，x＜0}\end{array}\right.$，∴f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{-ax，x＞0}\\{1，x=0}\\{{e}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$．
顯然x=0是方程f（-x）=f（x）的一個(gè)根，
當(dāng)x＞0時(shí)，e^x=-ax，①
當(dāng)x＜0時(shí)，e^-x=ax，②
顯然，若x₀為方程①的解，則-x₀為方程②的解，
即方程①，②含有相同個(gè)數(shù)的解，
∵方程f（-x）=f（x）有五個(gè)不同的根，
∴方程①在（0，+∞）上有兩解，
做出y=e^x（x＞0）和y=-ax（x＞0）的函數(shù)圖象，如圖所示：

設(shè)y=kx與y=e^x相切，切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=k}\\{k{x}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，解得x₀=1，k=e．
∵y=e^x與y=-ax在（0，+∞）上有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴-a＞e，即a＜-e．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．