Question

設雙曲線C：

y2

a2

-

x2

3

=1(a＞0)的兩條漸近線l₁，l₂與以點（1，0）為圓心，

1

2

為半徑的圓相切．
（I）求a的值；
（II）若雙曲線C的兩個焦點分別為F₁、F₂，A、B分別為l₁，l₂上的點，且2|AB|=3|F₁F₂|，求線段AB的中點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？

Answer 1

分析：（I）由題設知：l₁，l₂的方程為：y=±

a

3

x，由點到直線的距離公式得

a

a2+3

=

1

2

，由此能求出a的值．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），由2|AB|=3|F₁F₂|，知|AB|=

3

2

|F1F2|  =

3

2

×2c=6

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=6，再由y1+y2=

3

3

(x1-x2)，y1-y2=

3

3

(x1+x2)，能求出線段AB的中點M的軌跡．

解答：解：（I）由題設知：l₁，l₂的方程為：y=±

a

3

x，
由點到直線的距離公式得

a

a2+3

=

1

2

，
∴a=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x，y），
∵2|AB|=3|F₁F₂|，
∴|AB|=

3

2

|F1F2|  =

3

2

×2c
=6

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=6，
又y1=

3

3

x1，y2=-

3

3

x2，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
∴y1+y2=

3

3

(x1-x2)，y1-y2=

3

3

(x1+x2)，
∴

[ 3 (y1+y2)]2+[ 3 3 (x1+x2)]2

=6，
∴3(2y)2+

1

3

(2x)2=36，
即

x2

27

+

y2

3

=1，
所以M的軌跡是中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為6

3

，短軸長為2

3

的橢圓．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．