Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+a（x+1）．
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（II）求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）函數(shù)的定義域（0，+∞）分a≥0，a＜0兩種情況討論f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性
（II）令f′（x）=0?x=-

1

a

，分①-

1

a

≥2；②-

1

a

≤1；③1＜-

1

a

＜2 三種情況討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，以確定函數(shù)的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1

x

+a(x＞0)，
（1）a≥0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
（2）a＜0時，函數(shù)f（x）在(0，-

1

a

)單調(diào)遞增；(-

1

a

，+∞)單調(diào)遞減．（5分）
（Ⅱ）（1）a≥-

1

2

時，函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，最大值為3a+ln2；
（2）a≤-1時，函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，最大值為2a；
（3）-1＜a＜-

1

2

時，函數(shù)f（x）在(1，-

1

a

)單調(diào)遞增；(-

1

a

，2)單調(diào)遞減，最大值為a-1+ln(-

1

a

)．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)值f（a），f（b） 比較而得到．要注意分類討論思想在解題中的應(yīng)用．