Question

設(shè)有對(duì)數(shù)方程lgax=2lg（x-1）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，解該方程；
（2）討論當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，該對(duì)數(shù)方程有解，并求出它的解．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的解法即可得出；
（2）對(duì)數(shù)方程lgax=2lg（x-1）化為

ax＞0 ax=(x-1)2 x-1＞0

，可得x＞1，a＞0，x²-（2+a）x+1=0．令f（x）=x²-（2+a）x+1．利用二次函數(shù)的性質(zhì)、判別式即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，方程lgax=2lg（x-1）化為2x=（x-1）²，解得x=2±

3

，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，x=2-

3

不滿足條件，舍去．
∴該方程的解為x=2+

3

．
（2）對(duì)數(shù)方程lgax=2lg（x-1）化為

ax＞0 ax=(x-1)2 x-1＞0

，∴x＞1，a＞0，x²-（2+a）x+1=0．
令f（x）=x²-（2+a）x+1．
而f（1）=-a＜0，因此只要

2+a

2

＞1，△=（2+a）²-4≥0或

2+a

2

=1，△=（2+a）²-4＞0即可，解得a＞0．
綜上可得：當(dāng)a＞0時(shí)，該對(duì)數(shù)方程有解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程的解法與判別式的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．