Question

向量m=（sinωx+cosωx，cosωx）（ω＞0），n=（cosωx-sinωx，2sinωx），函數(shù)f（x）=m•n+t，若f（x）圖象上相鄰兩個對稱軸間的距離為，且當(dāng)x∈[0，π]時，函數(shù)f（x）的最小值為0．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式，并求f（x）的增區(qū)間；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²B=cos B+cos（A-C），求sin A的值．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）=m•n+t=cos2ωx+sin2ωx+t=2sin（2ωx+）+t，由 =，
ω=，∴f（x）=．當(dāng)x∈[0，π]時，，
函數(shù)f（x）的最小值為 1+t=0，∴t=-1，∴．
由 ，k∈z，可得 3kπ-π≤x≤3kπ+，
故f（x）的增區(qū)間為 ，k∈z．
（2）∵f（C）=1=2sin（ ）-1，∴sin（ ）=1，由 0＜C＜π 可得，，
＜＜，∴=，C=，A+B=．
又 2sin²B=cos B+cos（A-C），∴2 cos²A=sinA+sinA，∴．
分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式，二倍角公式，化簡函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（2ωx+）+t，根據(jù)周期性和最小值，
求出ω 和 t 的值，即得函數(shù)的解析式為，由，求得x的范圍，就是f（x）的增區(qū)間．
（2）據(jù)f（C）=1，求得C=，A+B=，再由 2sin²B=cos B+cos（A-C），可得 2 cos²A=sinA+sinA，解出sinA 的值．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式，二倍角公式，兩角和正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，定義域和值域，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，求出函數(shù)f（x）的 解析式，是解題的關(guān)鍵．