Question

設函數f（x）=ax-e^x，a∈R，e為自然對數的底數．
（I）若函數f（x）存在兩個零點，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若對任意x∈R，a＞0，f（x）≤a²ka恒成立，求實數K的取值范圍．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,函數恒成立問題

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導f′（x）=a-e^x，由導數判斷函數的單調性及零點個數；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）≤alna-a，故只需alna-a≤a²-ka，k≤a+1-lna．令g（a）=a+1-lna，求導求最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=a-e^x．
當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在R上單調遞減，最多存在一個零點，不滿足條件；
當a＞0時，由f′（x）=0解得x=lna，
當x＞lna時，f′（x）＜0，當x＜lna時，f′（x）＞0．
故f（x）在x=lna處取得最大值f（lna）=alna-a，
∵f（x）存在兩個零點，
∴f（lna）=alna-a＞0，
a＞e，
即a的取值范圍是（e，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）≤alna-a，
故只需alna-a≤a²-ka，k≤a+1-lna．
令g（a）=a+1-lna，g′（a）=1-

1

a

，
當a＞1時，g′（a）＞0；當a＜1時，g′（a）＜0．
故g（a）在a=1處取得最小值2，
則k≤2，
即k的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，屬于中檔題．