Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的最小值；

（3）證明：當(dāng)時，.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）的最小值為（3）見解析

【解析】分析：（1）代入，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（2）由單調(diào)遞減區(qū)間，得到恒成立。進(jìn)而確定只需當(dāng)時，即可，對導(dǎo)函數(shù)配方，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最大值，進(jìn)而得出的最小值。

（3）函數(shù)變形，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)。構(gòu)造函數(shù)，則，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求其最值，即可證明不等式。

詳解：函數(shù)的定義域為，

詳解：函數(shù)的定義域為，

（1）函數(shù)，

當(dāng)且時，；當(dāng)時，，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）因在上為減函數(shù)，故在上恒成立.

所以當(dāng)時，.

又 ，

故當(dāng)，即時，.

所以，于是，故的最小值為.

（3）問題等價于.

令，則，

當(dāng)時，取最小值.

設(shè)，則，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴，

∵ ，

∴，∴，

故當(dāng)時，.