Question

在遞減的等差數(shù)列{a_n}中，a₂+a₄+a₆=12，a₃•a₅=7，前n項(xiàng)和為S_n
（1）求a_n；
（2）求S_n及其最值，并指明n的取值；
（3）令T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a₄=4，可得a₃•a₅=（4-d）（4+d）=7，解之可得d值，可得通項(xiàng)；（2）可得S_n=

29n-3n2

2

，由二次函數(shù)的知識(shí)可知當(dāng)n=5時(shí)，S_n取最大值，代入求和公式可得；（3）可得當(dāng)n≤5時(shí)，a_n＞0，當(dāng)n≥6時(shí)，a_n＜0，當(dāng)n≤5時(shí)，T_n=S_n=

29n-3n2

2

，當(dāng)n≥6時(shí)，T_n=2S₅-S_n，求解可得．

解答：解：（1）∵{a_n}為等差數(shù)列，∴a₂+a₆=2a₄，
代入已知可得3a₄=12，解得a₄=4，
設(shè)數(shù)列的公差為d，
則可得a₃•a₅=（4-d）（4+d）=7，
解之可得d=-3，或d=3（舍去，數(shù)列遞減）
故a_n=a₄+（n-4）d=16-3n
（2）由（1）可知a_n=16-3n，a₁=13，
故S_n=

n(a1+an)

2

=

29n-3n2

2

，
對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為n=

29

6

，
故當(dāng)n=5時(shí)，S_n取最大值，
S₅=

29×5-3×52

2

35；
（3）由a_n=16-3n≤0可得n≥

16

3

，
故當(dāng)n≤5時(shí)，a_n＞0，當(dāng)n≥6時(shí)，a_n＜0，
故當(dāng)n≤5時(shí)，T_n=S_n=

29n-3n2

2

，
當(dāng)n≥6時(shí)，T_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-a₇-…-a_n
=2S₅-S_n=70+

3n2-29n

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，涉及分類討論的思想，屬中檔題．