Question

關(guān)于x不等式log

1

a

（

x2+ax+5

+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0解集為單元素集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：對a討論，a＞1和0＜a＜1兩種情況，運(yùn)用對數(shù)的換底公式，全部以a為底，運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，及換元法，令f（t）=log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5，判斷單調(diào)性，再由二次不等式的解法與判別式的關(guān)系，即可得到所求范圍．

解答： 解：①當(dāng)a＞1時，log

1

a

（

x2+ax+5

+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0
即為-log_a（

x2+ax+5

+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0，
令

x2+ax+5

=t（t≥0），則-log_a（t+1）•log₅（1+t²）+log_a3≥0，
由于log_a3＞0，log_a5＞0，
則有l(wèi)og_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5≤0，
令f（t）=log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5，則f（t）遞增，
且f（2）=0，即有f（t）≤f（2），即有t≤2．
即有0≤x²+ax+5≤4，由于只有一解，則判別式a²-4=0，解得，a=2；
②當(dāng)0＜a＜1時，log

1

a

（

x2+ax+5

+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0
即為-log_a（

x2+ax+5

+1）•log₅（x²+ax+6）+log_a3≥0，
令

x2+ax+5

=t（t≥0），則-log_a（t+1）•log₅（1+t²）+log_a3≥0，
由于log_a3＜0，log_a5＜0，
則有l(wèi)og_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5≥0，
令f（t）=log_a（t+1）•log_a（1+t²）-log_a3•log_a5，則f（t）遞減，
且f（2）=0，即有f（t）≥f（2），即有t≤2．
即有x²+ax+5≤4，由于判別式a²-4＜0，則不等式的解集為∅．
綜上可得，a的取值范圍為{2}．

點(diǎn)評：本題考查對數(shù)不等式的解法，考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算化簡能力，屬于中檔題和易錯題．