Question

平行四邊形ABCD中，∠CBA=120°，AD=4，對角線BD=2

3

，將其沿對角線BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD頂點在同一個球面上，則該球的體積為（　�。�

• A、

  20

  3

  5

  π
• B、

  160

  3

  5

  π
• C、32

  3

  π
• D、2π

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離,球

分析：運用余弦定理，可得AB=2，由勾股定理的逆定理可得AB⊥BD，運用面面垂直的性質(zhì)定理，可得AB⊥BC，
CD⊥AD，再由直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半，可得球心和半徑，再由體積公式計算即可得到．

解答： 解：在△ABD中，BD=2

3

，AD=4，∠BAD=60°，
由余弦定理可得BD²=AD²+AB²-2AB•ADcos60°，
即為12=16+AB²-4AB，可得AB=2，
由AB²+BD²=AD²，可得AB⊥BD，
由平面ABD⊥平面BCD，則AB⊥平面BCD，
即有AB⊥BC，
由CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，
則CD⊥平面ABD，
即有CD⊥AD，
取AC的中點O，連接OB，OD，
則有OA=OB=OC=OD=

1

2

22+42

=

5

，
即有球的半徑r=

5

．
則球的體積為V=

4

3

πr³=

4

3

π×（

5

）³=

20

3

5

π．
故選：A．

點評：本題考查面面垂直的性質(zhì)定理及運用，同時考查勾股定理和直角三角形的性質(zhì)，考查球的體積公式的運用，屬于基礎(chǔ)題．