Question

3．已知$α∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，$β∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，sinα=7m-3，sinβ=1-m，若α+β＜2π，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為$（\frac{1}{3}，\frac{4}{7}]$．

Answer 1

分析 依題意，可知α≠$\frac{3π}{2}$且β≠$\frac{3π}{2}$，由-1＜7m-3≤1，-1＜1-m≤1，可解得：$\frac{2}{7}$＜m≤$\frac{4}{7}$①；進(jìn)一步可分析出sinα＞sin（2π-β）=-sinβ，即7m-3＞m-1，解得：m＞$\frac{1}{3}$②；從而可得答案．

解答 解：∵$α∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，$β∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，且α+β＜2π，
∴α≠$\frac{3π}{2}$且β≠$\frac{3π}{2}$，
又sinα=7m-3，sinβ=1-m，
∴-1＜7m-3≤1，-1＜1-m≤1，
解得：$\frac{2}{7}$＜m≤$\frac{4}{7}$①；
由α+β＜2π得：α＜2π-β，
又$β∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，故2π-β∈$[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，而$α∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，y=sinx在區(qū)間$[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$上單調(diào)遞減，
∴sinα＞sin（2π-β）=-sinβ，即7m-3＞m-1，解得：m＞$\frac{1}{3}$②；
由①②得實(shí)數(shù)m的取值范圍為：$（\frac{1}{3}，\frac{4}{7}]$．
故答案為：$（{\frac{1}{3}，\frac{4}{7}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，分析得到sinα＞sin（2π-β）是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查推理與運(yùn)算能力，屬于難題．