直線L：y=k（x+3）與圓O：x2+y2=4交于A、B兩點，則當△AOB的面積最大時，k=
±
14
7
±
14
7
．
分析：由圓的方程找出圓心O坐標和半徑r，同時把直線l的方程整理為一般式方程，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心O到直線l的距離d，即為圓O中弦AB的弦心距，根據(jù)垂徑定理得到垂足為弦AB的中點，由圓的半徑，弦心距及弦的一半構(gòu)成的直角三角形，利用勾股定理表示出弦AB的長度，然后利用三角形的面積公式底乘以高除以2，用含有d的式子表示出三角形ABC的面積，并利用基本不等式
ab
≤
a+b
2
求出面積的最大值，以及面積取得最大值時d的值，從而列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到面積最大時k的值．
解答：解：由圓O：x2+y2=4，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=2，
把直線l的方程為y=k（x+3），整理為一般式方程得：kx-y+3k=0，
∴圓心O（0，0）到直線AB的距離d=
3|k|
k2+1
，（9分）
弦AB的長度|AB|=2
r2-d2
=2
4 -d2
，
∴S△ABC=
1
2
|AB|d=d
4-d2
=
d2(4-d2)
≤
d2+(4-d2)
2
=2，（11分）
當且僅當d2=2時取等號，S△ABC取得最大值，最大值為2，
此時
9k2
k2+1
=2，解得k=±
14
7
．
故答案為：±
14
7
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標準方程，直線的一般式方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及基本不等式的應用，當直線與圓相交時，常常由弦長的一半，弦心距，以及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知直角三角形PAB的直角頂點為B，點P的坐標為（3，0），點B在y軸上，點A在x軸的負半軸上，在BA的延長線上取一點C，使
BC
=3
BA
．
（1）當B在y軸上移動時，求動點C的軌跡方程；
（2）若直線l：y=k（x-1）與點C的軌跡交于M、N兩點，設(shè)D（-1，0），當∠MDN為銳角時，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線l：y=k（x-2）+2與圓x2+y2-2x-2y=0有兩個不同的公共點，則k的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•成都三模）已知O為坐標原點，點E、F的坐標分別為（-
2
，0）、（
2
，0），點A、N滿足
AE
=2
3
，
ON
=
1
2
(
OA
+
OF
)，過點N且垂直于AF的直線交線段AE于點M，設(shè)點M的軌跡為C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）若軌跡C上存在兩點P和Q關(guān)于直線l：y=k（x+1）（k≠0）對稱，求k的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，設(shè)直線l與軌跡C交于不同的兩點R、S，對點B（1，0）和向量a=（-
3
，3k），求
BR
•
BS
-|a|2取最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C：（x+1）2+（y-2）2=4
（1）若直線l：y=k（x-2）與圓C有且只有一個公共點，求直線l的斜率k的值；
（2）若直線m：y=kx+2被圓C截得的弦AB滿足OA⊥OB（O是坐標原點），求直線m的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=8x，O為坐標原點，動直線l：y=k（x+2）與拋物線C交于不同兩點A，B
（1）求證：
OA
•
OB
為常數(shù)；
（2）求滿足
OM
=
OA
+
OB
的點M的軌跡方程．

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