Question

1．四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB⊥平面BCD，則球O的表面積為（　　）

• A． 8π
• B． $\frac{{8\sqrt{2}}}{3}π$
• C． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}π$
• D． $\frac{16}{3}π$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設(shè)出底面三角形的外心G，找出四面體ABCD的外接球的球心O，通過(guò)求解直角三角形得到三棱錐的高，則答案可求．

解答 解：如圖，∵BC=CD=1，∠BCD=60°
∴底面△BCD為等邊三角形
取CD中點(diǎn)為E，連接BE，
∴△BCD的外心G在BE上，設(shè)為G，取BC中點(diǎn)F，連接GF，
在Rt△BCE中，由CE=$\frac{1}{2}$，∠CBE=30°，得BF=$\frac{1}{2}BC$=$\frac{1}{2}$，
又在Rt△BFG中，得BG=$\frac{\frac{1}{2}}{cos30°}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
過(guò)G作AB的平行線與AB的中垂線HO交于O，
則O為四面體ABCD的外接球的球心，即R=OB，
∵AB⊥平面BCD，∴OG⊥BG，
在Rt△BGO中，求得OB=$\sqrt{O{G}^{2}+B{G}^{2}}=\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴球O的表面積為$4π•（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}=\frac{16π}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．