Question

已知方程：x²+ax+2b=0（a∈R，b∈R），其一根在區(qū)間（0，1）內(nèi)．另一根在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則z=（a+3）²+b²的取值范圍為（　　）

• A、(

  2

  2

  ，2)
• B、(

  1

  2

  ，4)
• C、（1，2）
• D、（1，4）

Answer 1

分析：令f（x）=x²+ax+2b，根據(jù)題意可知f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，進(jìn)而求得b＞0，a+2b+1＜0，a+b+2＞0，畫出可行域，進(jìn)而分別求得z的最大和最小值，答案可得．

解答：解：設(shè)f（x）=x²+ax+2b由函數(shù)圖象可知：f（0）＞0，
f（1）＜0，f（2）＞0三者同時(shí)成立，
求解得b＞0，a+2b+1＜0，2a+2b+4＞0，
由線性規(guī)劃的知識(shí)畫出可行域：以a為橫軸，b縱軸，
再以z=（a+3）²+b²為目標(biāo)，幾何意義即為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到（-3，0）的距離的平方
當(dāng)a=-1，b=0時(shí)，z_max=4，當(dāng)點(diǎn)到直線a+b+2=0的距離為

2

2

，z_min=

1

2

由題目，不能取邊界，
∴z∈(

1

2

，4)
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一元二次方程根據(jù)的分布，以及線性規(guī)劃的基本知識(shí)．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．