己知向量
a
=(sin
x
3
，cos
x
3
)，
b
=(cos
x
3
，
3
cos
x
3
)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求此時函數(shù)f（x）的值域．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=
a
•
b
進而利用兩角和公式化簡整理求得f（x）=sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2
進而根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得最小正周期．進而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得其單調(diào)減區(qū)間．
（2）把b2=ac代入余弦定理求得cosx的值，進而根據(jù)x的范圍求得sin(
2x
3
+
π
3
)的范圍，進而確定函數(shù)的最大和最小值，求得函數(shù)的值域．
解答：解：（1）f(x)=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
(1+cos
2x
3
 )
=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
cos
2x
3
+
3
2

=sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2

T=
2π
2
3
=3π
令
π
2
+2kπ≤
2x
3
+
π
3
≤
3π
2
+2kπ
∴
π
4
+3kπ≤x≤
7π
4
+3kπ
單調(diào)原函數(shù)的減區(qū)間為[
π
4
+3kπ，
7π
4
+3kπ]k∈z

（2）由已知b2=ac
cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2

∴
1
2
≤cosx＜1，0＜x≤
π
3
，
π
3
＜
2x
3
+
π
3
≤
5π
9

∵|
π
3
-
π
2
|＞|
5π
9
-
π
2
|，
∴sin
π
3
＜sin(
2x
3
+
π
3
)≤1≤1，
∴
3
＜sin(
2x
3
+
π
3
)+
3
2
≤1+
3
2
．
即f（x）的值域為(
3
，1+
3
2
]．
點評：本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期性和值域問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知向量
a
=（2，1），
b
=（-3，4），則
a
-
b
=（　�。�
A、（5，-3）
B、（1，-3）
C、（5，3）
D、（-5，3）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知向量a=(2sin
x
2
，1-
2
cos
x
2
)，b=(cos
x
2
，1+
2
cos
x
2
)，函數(shù)f(x)=log
1
2
（a•b）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知向量
a
=(1，1)，2
a
+
b
=(4，2)則向量
.
a
 •
b
的夾角為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：汕頭一模 題型：解答題

己知向量
a
=(sin
x
3
，cos
x
3
)，
b
=(cos
x
3
，
3
cos
x
3
)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間；
（2）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求此時函數(shù)f（x）的值域．

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